Моделирование электрических систем Формы линейных уравнений установившегося режима и их решение
Формы линейных уравнений установившегося режима и их решение

Известными независимыми переменными в уравнениях установившегося режима могут быть задающие токи узлов и напряжение базисного узла. В этом случае решение уравнения (3.29) может быть записано в виде

(3.30)

Здесь Z – матрица узловых сопротивлений.

Численное решение системы уравнений (3.29) выполняется методом Гаусса или другим методом решения системы линейных алгебраических уравнений.

В случае, когда известны мощности в узлах сети – задающие мощности Si, токи можно вычислить приближенно через номинальные напряжения (i = 1,…, n – 1). Задающие мощности так же, как и токи, складываются из мощности генерации и мощности нагрузки:

(3.31)

Другой приближенный подход связан с представлением задающих токов через напряжения и проводимости , где YSi – проводимость генерации и/или нагрузки (схема замещения). Для i-го узла имеем:

(3.32)

Объединив подобные члены, получим

(3.33)

где в элемент Yii входит проводимость YSi. Знак перед этой проводимостью зависит от того, какая мощность преобладает в узле: плюс, если нагрузка, и минус, если генерация. В матричной форме записи:

(3.34)

Решение матричного уравнения (3.34) запишется в виде

(3.35)

Комплексную матрицу узловых проводимостей Y иногда представляют в блочной форме через ее вещественную G и мнимую B составляющие, и тогда система уравнений (3.34) становится системой с вещественными величинами:

(3.36)

После перемножения двучленов в (3.35) будем иметь:

(3.37)

Приравняем отдельно вещественные и мнимые части полученного уравнения и получим два матричных уравнения с вещественными величинами:

(3.38)

или в компактной форме записи:

(3.39)

Решение (3.39) запишется в виде

(3.40)

Пример 2. Рассчитаем напряжения в узлах и токи в ветвях схемы электрической сети, граф которой изображен на рис. 3.10. Исходные данные для расчета и расчет представлены в системе Mathcad.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Напряжение базисного узла

Сопротивления ветвей и задающие токи узлов:

РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ

МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ

1. Составление матрицы инциденций узлов и ветвей M:

2. Формирование диагональной матрицы проводимостей ветвей Y:

3. Составление матрицы-столбца проводимостей ветвей, связывающих узлы схемы с базисным узлом Y0:

4. Получение матрицы узловых проводимостей Y:

ВЫЧИСЛЕНИЯ

1. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы:

2. Расчет других параметров режим сети:

3. Проверка результатов: сумма задающих токов должна быть равна току балансирующего узла с обратным знаком: