Моделирование электрических систем Экспоненциальная модель прогнозирования
Экспоненциальная модель прогнозирования

Во многих случаях в качестве математического описания физических процессов используется экспоненциальная функция. Рассмотрим такую модель на примере процесса распада радиоактивного элемента.

Известно, что скорость распада любого радиоактивного элемента прямо пропорциональна наличной его массе:

. (5.17)

Знак минус указывает на убывание массы.

Разделим переменные в дифференциальном уравнении (5.17):

(5.18)

и после интегрирования получим

(5.19)

При t = 0 из (5.19) будем иметь C = lnx0, где x0 – количество массы в начальный момент времени, тогда

(5.20)

откуда

, (5.21)

где k – константа, которая может быть определена экспериментальным путем.

Пусть за время t = t – t0 распалось α % радиоактивного элемента, тогда остаток (рис. 5.14).

. (5.22)

Рис. 5.14. Определение параметра модели распада радиоактивного элемента

Логарифмируя полученное выражение и выражая коэффициент k, получим

. (5.23)

Для элемента радия k = 0,00044 1/год.

Во многих случаях экспоненциальная модель зарекомендовала себя очень хорошо как в случае убывания некоторой субстанции, так и для роста субстанции. В общем случае модель формулируется следующим образом: скорость изменения некоторой субстанции (роста, спада) пропорциональна уже имеющемуся количеству. Так, например, скорость увеличения выработанной электрической энергии

, (5.24)

т. е. прирост показателя в единицу времени пропорционален уже имеющемуся количеству (достигнутому уровню) с неизменным коэффициентом пропорциональности α = const.

В логарифмических координатах зависимость ln W(t) – прямая линия.

(5.25)

В случае начала отсчета t = t0 (t0 ≠ 0), W = W0 и

(5.26)

откуда

(5.27)

и

(5.28)

Окончательно получаем модель

(5.29)

В некоторых случаях оказывается более удобной модель с постоянным коэффициентом b:

(5.30)